Inégalités et extremums - Exemple

Remarque

• Lorsqu'on connait le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle, on peut alors donner un encadrement de l'image de n'importe quelle valeur appartenant à cet intervalle. Si la fonction a uniquement un maximum ou un minimum sur un intervalle, on peut alors en déduire une inégalité concernant l'image de n'importe quelle valeur appartenant à cet intervalle.

• Réciproquement, si on dispose d'une inégalité ou d'un encadrement de \(f(x)\) pour \(x\in I\) , peut-on en déduire une information concernant le maximum ou le minimum de \(f\) ?
  

Exemple

On dispose de l'information suivante concernant une fonction \(h\).
Si \(0\leq x\leq 3\pi\), alors \(-1\leq h(x)\leq 1\).
On peut en déduire que, pour tout \(x\in [0;3\pi]\), \(h(x)\) est comprise entre \(-1\) et \(1\).
Les valeurs \(-1\) et \(1\) sont-elles atteintes ? On ne le sait pas.
L'information donnée ne permet donc pas de conclure en termes de maximum ou de minimum de la fonction \(h\) sur \([0;3\pi]\).

Voici, dans un repère orthonormé du plan, les courbes de deux fonctions définies sur \([0;3\pi]\) et ayant des images comprises entre \(-1\) et \(1\).

Sur cette première courbe, les points \(\text A\) et \(\text C\) ont pour ordonnée \(\dfrac{1}{2}\) et les points \(\text B\) et \(\text D\) ont pour ordonnée \(-\dfrac{1}{2}\).
Toutes les images par \(h\) sur \([0;3\pi]\) sont comprises entre \(-\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}\) et donc aussi entre \(-1\) et \(1\), mais \(-1\) n'est pas le minimum de \(h\) sur \([0;3\pi]\) puisque cette valeur n'est pas atteinte ; de même, \(1\) n'est pas le maximum de \(h\) sur \([0;3\pi]\).
Le minimum de \(h\) sur \([0;3\pi]\) est \(-\dfrac{1}{2}\) et le maximum de \(h\) sur \([0;3\pi]\) est \(\dfrac{1}{2}\).

Sur cette seconde courbe, les points \(\text A\) et \(\text C\) ont pour ordonnée \(1\) et les points \(\text B\) et \(\text D\) ont pour ordonnée \(-1\).
Toutes les images par \(h\) sur \([0;3\pi]\) sont comprises entre \(-1\) et \(1\).
\(-1\) est atteint en \(x=\pi\) et en \(x=3\pi\).
Donc on peut affirmer que \(-1\) est le minimum de \(h\) sur l'intervalle \([0;3\pi]\) et qu'il est atteint deux fois.
De même, \(1\) est atteint en \(x=0\) et en \(x=2\pi\).
Donc on peut affirmer que \(1\) est le maximum de \(h\) sur \([0;3\pi]\) et qu'il est atteint deux fois.